1、f(x)在x0及其上下近旁有定义。2、f（x）在x0的极限存在。3、f（x）在x0的极限值与函数值f(x0)相同。函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，而引起的因变量y的变化也很小。比如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化充足短，位移的变化也是很小的。

对于这种情况，我们说因变量关于自变量是持续变化的，持续函数在直角坐标系里的图像是一条没有断裂的持续曲线。由极限的特性可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点多都持续。

法则：

定理一在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）计算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二持续单调递增（递减）函数的反函数，也持续单调递增（递减）。

定理三持续函数的复合函数是连续的。

这些特性都可以从连续的定义以及极限的有关特性中得到。

线段被破坏，当且仅当至少被有重叠部分的连续三笔的其中一笔破坏。而只要构成有重叠部分的前三笔，那么必然会形成一线段，换言之，线段破坏的充要条件，就是被另一个线段破坏。

缠论分解定理：线段被破坏，当且仅当至少被有重叠部分的连续三笔地其中一笔破坏。既线段破坏的充要条件，就是被另外一个线段破坏。

所有的第一买点，都是某级别背驰段的终点，而要有背驰段，就一定要有可比较力度的另外一段，也就是至少连续三段非统一方向的走势段，是判断第一买点的充要条件。

他在奇异测度的谱性问题研究方面取得创新成果，给出了支撑在有限子集上的均匀概率测度序列做无穷卷积后弱收敛到概率测度的充要条件，提出了几乎连续的数字集概念，首次构造了一类支撑集无界且分形维数满足介值性质的奇异谱测度。此外，他在实数的非整数基展开、分形几何与数论的交叉等研究方面也取得重要成果。