数学上的一类公式，用于三角函数等价代换，可以用于方便我们化简式子，也方便运算。基本上可以从三角函数的函数图像中推理出诱导公式，也能从诱导公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化积，万能公式等。

中文名：三角恒等变形

外文名：Angle transformation formula

别名：三角恒等变换

学科：数学

用途：三角函数等价代换

方法：图像中推理出诱导公式

sin²α+cos²α=1

1+tan²α=sec²α

1+cot²α=csc²α

sinα/cosα=tanα

secα/cscα=tanα

cosα/sinα=cotα

cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ)

tan(α+β)=(sinα+sin(α+2β))/(cosα+cos(α+2β))

sin2α=2cosαsinα=2tanα/（1+tan²α）

cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α－1

tan2α=2tanα/[1－(tanα)²]

sin2α=sin^2(α+π/4)－cos^2(α+π/4)=2sin^2(a+π/4)－1=1－2cos^2(α+π/4)

cos2α=2sin(α+π/4)cos(α+π/4)

sin3α=3sinα-4sin³α

cos3α=4cos³α-3cosα

tan3α=（3tanα-tan³α）/（1-3tan²α）

sin3α=4sinα×sin（π/3-α）sin（π/3+α）

cos3α=4cosα×cos（π/3-α）cos（π/3+α)

tan3α=tanα×tan（π/3-α）tan（π/3+α）

根据欧拉公式(cosθ+i·sinθ)^n=cos（nθ）+i·sin（nθ）注：sinθ前的i是虚数单位，即-1开方）

将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-……

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-……

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-sinα)/(1+sinα)]=cosα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

sin²（α/2）=（1-cosα）/2

cos²（α/2）=（1+cosα）/2

tan²（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

sin²（α/2）=（1-cosα）/2

sin(a/2）=√[（1-cosα）/2]（a/2在一、二象限）

或=-√[（1-cosα）/2]（a/2在三、四象限）

cos²（α/2）=（1+cosα）/2

cos(a/2）=√[（1+cosα）/2]（a/2在一、四象限）

或=-√[（1+cosα）/2]（a/2在二、三象限）

tan²（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）]（a/2在一、三象限）

或=-√[（1-cosα）/（1+cosα）]（a/2在二、四象限）

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

sec（2kπ+α）=secα

csc（2kπ+α）=cscα

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=-cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα

sin（α-π）=－sinα

cos（α-π）=－cosα

tan（α-π）=tanα

cot（α-π）=cotα

sec(α-π)=-secα

csc(α-π)=－cscα

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

sec(2π-α)=secα

csc(2π-α)=-cscα

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

正弦公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

余弦公式：cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

正切公式：tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

设A，B，C是三角形的三个内角

sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）

cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

sin^2(α)=(1-cos2α)/2cos^2(α)=(1+cos2α)/2tan^2(α)=(1-cos2α)/(1+cos2α)

首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosBAD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

由此易得以上全部公式。[1]

1.高中数学三角恒等变换的证明方法·高考资源网