无理数是指小数点后有无限的数字，没有循环。无理数的发现对古希腊的数学观点产生了巨大的影响，理论上暗示了一个更大、更完美的数学系统，引发了第一次数学危机，对未来2000年的数学发展产生了深远的影响。常见的无理数有：圆周率、欧拉数e、黄金比例φ等等。

在证明无理数集合不可数时，我们假设无理数集合是可数的，并且根据这个假设构造出一个新的实数。我们可以证明这个新的实数是一个无理数，并且不属于无理数集合中的任何一个数。这个证明是独立于有理数集合是否可数的，因为我们没有使用任何有理数的性质来证明无理数集合的不可数性。

所以一个正实数的无理数次幂就可以从级数的角度去看哈。那一个无理数的无理数次幂可以是有理数，这个结论可以从级数的角度证明吗？（数分学的差[可怜]）

当然，如果认为定理是直接证明【无理数不可数】，反证法假定的是无理数可数，是由无理数序列求出的不在序列中的新数，由于有【不可能完全排除产生的新数不是一个无理数。

开方产生了无理数，但产生无理数还有另一个原因：任意两个有理数之间还有有理数，有理数间有间隔，在基本数轴上有理数的点是不连续的，需要一个新的数来填充两个任意无穷靠近的有理数的间隙，这就产生了无理数。有了无理数的加入，基本数轴上的所有点都连续了，它们对应的数的集合就是实数，实数同样也是连续的，而这种连续性有理数和无理数都不具备。