heine定理：海涅海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要重要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。

中文名：海涅定理

提出者：海因里希·爱德华·海涅

应用学科：数学

适用领域范围：沟通函数极限和数列极限

Heine定理

lim[x->a]f(x)=b存在的充要条件是:对属于函数f(x)定义域的任意数列，且lim[n->∞]an=a，an不等于a，有lim[n->∞]f(an)=b。

海涅定理表明了函数极限与数列极限的关系。如果极限lim[x→x0]f(x)存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：xn≠x0（n∈N+），那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且lim[n→∞]f(xn)=lim[x→x0]f(x)

虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。

如果一个集合是紧致的，则它必定是闭合的。

设一个集合是紧致的。与一个会聚点的至少一个邻域不相交的那些集合的有限集合不能是开覆盖，因为这些不交接的邻域的交集形成了一个开集，它把不包含在那个集合的有限集合内的一个点包含在这个集合内。考虑这个集合的所有元素的那些邻域减去包含这个会聚点的集合，使得每个邻域都不交集于这个会聚点的至少一个邻域。这个邻域的集合的所有子集因此有早先讨论的形式，因此不能是开子覆盖。因此最初的不与这个会聚点的邻域相交的这种邻域的集合也不形成开覆盖，即使它不包含这个会聚点但包含在这个集合内的所有其他元素。因此，这个会聚点必定在这个集合中。

如果一个集合是紧致的，则它是有界的。

为什么?考虑以一个公共点为中心有任何半径的那些开球。这可以覆盖任何集合，因为在这个集合中所有点都用与那个点有某种距离。这个覆盖的任何有限覆盖必定是有界的，因为它会被界定在这个子覆盖的最大开球内。因此，这个子覆盖的所覆盖的任何集合都必定是有界。

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