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面面平行的判定定理为如果一个平面里有两条相交直线与都平行于另一个平面那么这两个平面平行;如果两个平面都竖直同一条直线那么这两个平面是互相平行的

面面平行证明方式

如果一个平面里有两条相交直线与另一个平面平行那么这两个平面平行

几何语言：a⊂αb⊂α且a∩b=Aa∥βb∥β则α∥β

反证法证明：假定这两个平面不平行那么它们交叉设交线为l

∵a∥β

∴a与β无交点

同样b与β无交点

∵l是两个平面的交线l⊂β

∴a与l无交点b与l无交点那么它们平行或异面

又∵a⊂αb⊂αl⊂α即它们不异面

∴a∥lb∥l

这和已知条件a∩b=A分歧因此假定不成立α∥β

向量法证明：设直线ab的方向向量为ab平面β的法向量为p

∵a∥βb∥β

∴a⊥pb⊥p即a·p=0b·p=0

∵ab是α内两条相交直线

∴设有任一向量c⊂α根据平面向量基本定理可知存有一对有序数对(xy)促使c=xa yb

那么p·c=p·(xa yb)=xp·a yp·b=0

即p⊥c

由c的任意性可知p与α内任一向量都竖直即p也是α的法向量

∴α∥β